1问题提出
《数学通报》2017年第5期刊登了文章《一个概率问题的解决及其启示》，该文介绍了一个“不起眼”的概率题以及如何寻找问题解答的过程和思考［1］. 问题是：抛掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，连续抛掷多次，问恰好得到3分的概率为多少？
“由于一个不经意间的质疑，问题成为困扰学习者的难题”［1］，“困扰”是怎么产生的？文［1］这样描述：教师A质疑题目有误，应该具体指出抛掷次数，比如改为“连续抛掷3次”，这样得3分的概率为计算方法是使用后续将要学习的“独立事件概率乘法公式”，或者写出样本空间，用“古典概型”定义；教师B则认为题目无误，要得3分，应该是连续抛掷2次或者3次，计算方法是“独立事件概率乘法公式”和“互斥事件概率加法公式”，得3分的概率为同科组的教师认为教师B说的有理，尝试写出样本空间，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）. 但是这样基本事件就有12个，有利事件是3个，算出来的概率是
，同一个问题居然得到不同的结果！“困扰”产生了.
为了解决该“困扰”，文［1］由赛制启发得到了一种“虚拟解法”. 形式上，它是一个类似赛制的表格；本质上，是将“2维”的样本点升级到“3维”，统一到一个样本空间，是一种彻底的“古典概型”方法.
2高观点下问题的探究与解决
以“高观点下的初等数学”为主题的研究日渐增多，不少高师院校还专门开设了此类课程，但要找出中学数学与高等数学的联系并非易事，学习了高等数学而不能很好的指导中学数学教学的情况也普遍存在，以致很多学生错误的认为高等数学的学习并不能为初等数学教学带来多少帮助. 文［1］关于一个概率问题的探究为我们提供了一个难得的案例，我们在大学教学中引入该案例，让学生清晰的看出了问题的本质与内涵，深刻领悟到大学知识与方法对中学问题及其解决的指导意义，以及大学概率课程与中学概率知识一脉相承的关系，引发了学生的强烈共鸣.
马尔可夫过程是随机过程的重要组成部分，也是随机过程研究中最为成熟一个分支，离散时间离散状态的马尔可夫链更是因其通俗易懂、应用广泛而广为人知. 学完马尔可夫链的定义后，书本介绍了几个“随机游动”的例子，但“随机游动”也是概率统计学家从实际问题中抽象出来的模型，尚未与学生的认知建立深刻的联系. 此时我们开始向学生介绍文［1］中的问题，首先让学生思考，由于文［1］的问题比较简单，又来自高中，学生非常兴奋，很快解答出来，解法大多与文［1］中“教师B的方法”相同. 然后，告知学生该问题的本质是一个马尔可夫链，学生难以置信，怎么突然和马尔可夫链联系起来了？
事实上，引进随机变量若第次抛掷时出现反面，令；若第次抛掷时出现正面，令；再引进随机变量，令，规定. 显然，这里的表示抛掷次后的得分情况.要计算得到3分的概率，即研究取何时，并计算该事件发生的概率. 由前面教师B的解法可知，所求概率为，但如此继续下去，与教师B的解法并无实质不同. 其实，取何并不是问题的重点，取何时也无关紧要，问题的核心是：计算“从0分变到3分的概率”，抓到了这个本质，问题转化为一个条件概率的计算问题.
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