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数学与猜想

来源:岭南师范学院数学与统计学院 作者:彭程

在《数学与猜想》一书中,有欧拉的赞叹“欧拉是数学研究中善于用归纳法的大师,运用归纳法和大胆的猜测使得许多数学定理得到证明”归纳推理是一种创造性较强而可靠性较弱的方法。(即归纳法)和数学归纳法是不同的。数学归纳法是一种论证推理,是一种用来证明同自然数有关的猜想的一种方法,而这种猜想通常是我们用某种归纳推理。一般说来,归纳推理(即归纳法)在数学创造活动中发现真理。

五、归纳推理成功的例子

例1:把函数1/(1-x+x2)展成x的幂级数

这个问题的解法不止一种。下面的解法只需要知道几何级数的求和公式:1+q+q2+q3+…=1/(1-q) 按照这一公式有:

1/(1-x+x2)=1/(1-x(1-x))

=1+x(1-x)+x2(1-x)2+x3(1-x)3+…

=1+x-x2+x2-2x3+x4+x3-3x4+3x5-x6…

=1+x-x3-x4+x6+x7-…

归纳法常常从观察开始。经过观察,首先发现仁意不等于零的系数都是一或负一。相继出现的个系数似乎有一定规律。为此,我们再多算几项:1/(1-x+x2)=1+x-x3-x4+x6+x7-x9-x10+x12+x13…我们在经过观察,发现了周期性:各系数按周期循环出现,周期为6。

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